Axiomática de Zermelo-Fraenkel

De WikiLingua.net

La Teoria de conjunts de Zermelo-Fraenkel és una teoria formal i axiomática de conjunts, la qual constitueix un dels fonaments de les matemàtiques. Va ser desenvolupada per Zermelo a partir d'un primer escrit que va presentar en 1908, titulat Investigacions en la Fundamentación de la Teoria de Conjunts (Untersuchungen über die Grundlagen der Mengenlehre).

Taula de continguts

[editar] Introducció

La teoria de conjunts és una branca de la matemàtica relativament moderna el propòsit de la qual és estudiar unes entitats cridades conjunts, encara que una altra part d'aquesta teoria és reconeguda com els fonaments mateixos de les matemàtiques. La teoria de conjunts va ser desenvolupada pel matemàtic rus Georg Cantor a la fi del segle XIX a partir de certes conclusions fetes pel mateix al reflexionar en uns detalls de les sèries trigonométricas de Fourier. La teoria de conjunts va ser exposada per Cantor en una sèrie d'articles i llibres, dels quals poden destacar-se els seus Beiträge zur Begründung der transfiniten Mengenlehre.

El propòsit de Cantor era proporcionar un mètode per a lidiar amb assumptes relacionats a l'infinit actual, un concepte que va ser defugit i rebutjat per alguns matemàtics (Pitágoras, Gauss, Kronecker) per considerar-ho sense significat. Ciertamente Cantor va tenir èxit, si bé la seva teoria havia de ser precisada i sotmesa a un sistema axiomático, un projecte que després va ser dut a terme principalment per Frege, Russell, Zermelo, Albert Skolem i Adolf Fraenkel.


Cantor va partir de la convicció platonista que era possible “comprimir” una col·lecció o conjunt d'objectes i considerar-la com un tot (o millor dit, com una sola entitat), i pel que sembla, acceptant implícitamente els supòsits següents:


(i) Un conjunt és una reunió d'objectes que compleixen amb certa propietat (cridats els elements d'aquest conjunt) i que, per tant, queda definit per tal propietat.


(ii) Un conjunt és una sola entitat matemàtica, de manera que pot al seu torn ser contingut per un altre conjunt.


(iii) Dos conjunts que tinguin els mateixos elements són iguals. Així, pot dir-se que un conjunt està determinat pels seus elements.


D'aquesta manera, Cantor va poder desenvolupar la seva teoria d'una forma que en aquell llavors semblava el suficientment satisfactòria. No obstant això, el sistema de Cantor era tan permissiu que va donar lloc a resultats contradictoris. Gottlob Frege, que va idear un sistema més precís, va intentar fonamentar adequadament la teoria de conjunts (i per tant totes les matemàtiques), però, per a la seva desaliento, Bertrand Russell va descobrir una paradoxa en la teoria d'aquell (avui cridada paradoxa de Russell), amb el que el sistema de Frege semblava desbaratar-se. A principis del segle XX, va anar el matemàtic alemany Ernst Zermelo qui va posar la teoria de conjunts sobre una base acceptable reduint-la a un sistema axiomático més restringit que no permetia l'obtenció de la Paradoxa de Russell. Les idees de Zermelo van ser després precisades per Thoralf Skolem i Abraham Fraenkel, resultant d'això la primera teoria axiomática de conjunts, coneguda com teoria de Zermelo-Fraenkel, encara que seria més adient cridar-la teoria de Zermelo-Fraenkel-Skolem. Una altra teoria de conjunts que evitava les paradoxes de la teoria cantoriana va ser desenvolupada després, principalment, per John von Neumann, Paul Bernays i Kurt Gödel. Aquesta última és avui cridada, naturalment, la teoria de conjunts de von Neumann-Bernays-Gödel.

[editar] Sobre el concepte de conjunt

El concepte de conjunt es troba a un nivell tan elemental que no és possible donar una definició precisa del mateix. Paraules com col·lecció, reunió, agrupació, i algunes altres de significat similar, s'usen en un intent de descriure als conjunts, però no poden constituir una definició, doncs són simplement un reemplaço de la paraula conjunt. Amb tot, en la teoria intuïtiva de conjunts l'anterior és admissible, i s'accepta l'existència d'un univers o domini d'objectes a partir del com es construeixen els conjunts, així com també permet tractar conjunts com una entitat singular. No és d'importància la naturalesa dels objectes, sinó el comportament d'un conjunt com entitat matemàtica.

Del dit anteriorment, sembla natural introduir una relació diádica de pertinença. El símbol usual per a representar aquesta relació és el símbol \in, una versió de la lletra grega ε (épsilon). Els segons arguments de la relació \in són anomenats conjunts, i els primers arguments són anomenats elements. Així, si la fórmula

a\in x


es compleix, es diu que a és un element del conjunt x. Si acceptem que tot és un conjunt, llavors els primers i segons arguments de \in pertanyen al mateix domini.

La negació de s'escriu a\in x a\notin x.

Sota aquests supòsits pot desenvolupar-se una mica la teoria de conjunts. No obstant això, la concepció intuïtiva de conjunts no permet arribar tan lluny com pogués desitjar-se, doncs arriba un moment en què, com succeeix en altres àrees de les matemàtiques, la intuïció és de poca o cap ajuda (per exemple com passa al parlar de la hipòtesi del continu, d'espais de dimensió major que tres, etc.). És en moments com aquest en què es fa evident la necessitat d'axiomatizar i formalitzar la teoria de conjunts per a poder arribar a resultats més profunds. Això implica renunciar a una definició intuïtiva de conjunt, i en el seu lloc postular una sèrie de principis que determinin el comportament d'aquest, de tal forma que els resultats obtinguts no són ja conseqüència de raonaments intuïtius fluixos, sinó que s'obtenen a partir de tals principis.

[editar] La necessitat d'axiomatizar la teoria de conjunts

En la teoria de Cantor, és possible formar un conjunt a partir d'una propietat determinada que han de complir els seus elements. En altres paraules, donada qualsevol propietat P, existeix un conjunt x els elements de la qual són precisament els objectes al fet que verifiquen P(a )/a) . En símbols, aquest conjunt es representa per


\{a\mid p(a)\}.


Així, per exemple, considerant la fórmula a = a, s'obté el conjunt


V=\{a\mid a=a\},


que clarament ho conté tot. A aquest conjunt no es poden aplicar algun dels resultats de Cantor, ja que condueix a certes paradoxes.

Com un altre exemple més clar de conjunts contradictoris a causa de la seva 'gran grandària', aquesta el qual dóna lloc a la paradoxa de Russell. Considerem el conjunt x els elements de la qual són aquells conjunts que no es pertanyen a si mateixos. Això és, el conjunt


x=\{a\mid a\notin a\}.


La paradoxa de Russell surje al preguntar-se: és x un element de si mateix? Si l'és, és a dir, si x\in x, llavors x satisfà la condició x\notin x, el que és una contradicció. Si x\notin x, llavors x satisfà la condició per a ser un dels seus elements, i així x\in x, de nou una contradicció. Així, x no pot ni pertànyer-se ni no fer-ho.

En un intent d'eliminar aquesta paradoxa, Russell i Whitehead van desenvolupar la teoria de tipus i la van exposar en un llibre titulat Principia Mathematica. Si bé aquesta teoria eliminava la paradoxa de Russell, resultava massa complicada com per a posseir interès. La teoria de conjunts de Zermelo, molt més simple a nivell lògic, assolia eliminar tant la paradoxa de Russell com totes les altres que sorgien en el sistema de Cantor i en el de Frege.

[editar] La teoria de conjunts de Zermelo-Fraenkel (ZF)

La teoria de conjunts de Zermelo-Fraenkel és en l'actualitat reconeguda com un dels fonaments de les matemàtiques. Aquesta teoria va ser desenvolupada per Zermelo, qui la presento de manera rigorosa però poc formal, i manejant conceptes no gaire clars, com el terme definite Eigenshaft (propietat definida). Skolem i Fraenkel van precisar les idees de Zermelo i les van traduir al llenguatge formal, així com també van fer modificacions que milloraven els resultats de Zermelo.


[editar] Els axiomas de Zermelo-Fraenkel

La teoria de conjunts de Zermelo-Fraenkel consisteix dels primers nou axiomas següents:

  • Axioma d'extensionalidad. Dues conjunts x i i són iguals (el que es representa per x = i) si i sol si contenen els mateixos elements. Més formalment, i en la simbología usual,


(1) \forall a (a\in x\ \leftrightarrow\ a\in y)\ \rightarrow x=y


  • Conjunt buit. Existeix un conjunt (representat per Ø) sense elements. Això és,


(2) \exists\empty\forall a (a\notin\empty)


  • Axioma de parells. Donats qualssevol dues conjunts x i i, existeix un altre conjunt, representat per { x,i}, els elements de la qual són únicament x i i. Això és,


(3) \forall x,y\exists z\forall a (a\in z\ \leftrightarrow\ a=x\vee a=y).


  • Axioma de la unió. Donada qualsevol col·lecció (conjunt) de conjunts C, existeix un conjunt, representat per \bigcup C i anomenat unió de C , que conté tots els elements de cada conjunt de C . Això és,


(4) \forall x\exists y\forall a (a\in y\ \leftrightarrow\ \exists z(z\in x\wedge a\in z)).


  • Axioma del conjunt potencia Per a qualsevol conjunt x existeix un altre conjunt, representat per \mathcal{P}(x), que conté tots els subconjuntos de x . En símbols,


\forall x\exists y\forall z (z\in y\ \leftrightarrow\forall a (a\in z\rightarrow a\in x))


  • Esquema axiomático d'especificació. Sigui φ(v) una fórmula d'un llenguatge de primer ordre que contingui una variable lliure v. Llavors, per a qualsevol conjunt x existeix un conjunt i els elements del qual són aquells elements a de x que compleixen φ(a )/a) . Formalment,


\forall x\exists y\forall a (a\in y\ \leftrightarrow\ a\in x\wedge\phi(x))


  • Esquema axiomático de reemplaço. Si φ(a, b) és una sentència tal que per a qualsevol element a de un conjunt x el conjunt y=\{b\mid\phi(a,b)\} existeix, llavors existeix una funció


f:x\rightarrow y


tal que f(a )/a) = i. Formalment, si


\forall x\forall y\forall z\exists v (x\in v\wedge \phi(x,y)\wedge (\phi(x,z)\rightarrow y=z))

llavors

\exists w\forall y (y\in w\ \leftrightarrow\ \exists x(x\in v\wedge\phi(x,y)))


  • Axioma d'infinitud. Existeix un conjunt x tal que \empty\in x i tal que si y\in x, llavors y\cup\{y\}\in x. En símbols,


\exists x (\empty\in x\wedge\forall (y\in x\rightarrow y\cup\{y\}\in x)).


  • Axioma de regularitat. Per a tot conjunt no buido x existeix un conjunt y\in x tal que x\cap y=\empty. Això és, en termes formals,
 \forall x(x\neq\empty\ \rightarrow\ \exist y(y\in x\wedge\ \forall z(z\in y\rightarrow y\notin x)))


  • Axioma d'elecció. El producte cartesiano de qualsevol família no buida de conjunts no buits és no buit. Aquest axioma pot expressar-se en termes formals igual que els altres, encara que resulta més extens.


Els axiomas anteriors, excepte l'últim, constitueixen la teoria de Zermelo-Fraenkel, que es representa per ZF. Existeixen altres axiomas consistents amb els de ZF, com l'axioma de constructibilidad i l'axioma d'elecció. Una vegada incorporat l'axioma d'elecció a la teoria ZF, la teoria de conjunts resultant es denota per ZFC.

[editar] Sobre els axiomas i algunes definicions en ZF

[editar] L'axioma d'extensionalidad

L'axioma d'extensionalidad diu que dos conjunts són iguals si i sol si tenen els mateixos elements. En altres paraules, afirma que un conjunt està determinat per la seva extensió (tots els seus elements). Una relació més general que la igualtat és la inclusió (\subseteq), que es defineix com segueix:


x\subseteq y\ \equiv\ \forall a(a\in x\rightarrow a\in y) .


A diferència del signe de la igualtat, el símbol \subseteq no figura dintre del llenguatge de primer ordre amb el qual es construeix la teoria ZF, doncs la definició abans donada hauria d'en aquest cas ser introduïda com un axioma que estableixi l'ocupació de \subseteq, cosa que no s'ha fet aquí. En el seu lloc, la simbología x\subseteq y s'empra simplement per a representar la fórmula \forall a(a\in x\rightarrow a\in y) del llenguatge de la teoria de conjunts.

En vista de l'axioma d'extensionalidad i de la definició anterior, resulta que pot provar-se que dues conjunts x i i són iguals si pot provar-se que x\subseteq y i y\subseteq x.

[editar] L'axioma del conjunt buit

L'axioma del conjunt buit ens dóna un conjunt sense elements. Aquest axioma es va presentar usant el símbol \empty. Això està justificat, doncs l'axioma d'extensionalidad ens diu que aquest conjunt és únic. En efecte, si \empty i \empty' anessin dos conjunts buits, llavors sempre verificarien a\notin\empty i a\notin\empty' per a qualsevol a, i per tant també


a\in\empty\ \leftrightarrow a\in\empty'


per a tot a, de manera que, per l'axioma d'extensionalidad, \empty=\empty'.

L'axioma del conjunt buit pot deduir-se d'un altre axioma més feble, que afirma l'existència d'un conjunt, diguem x, i de l'esquema d'especificació amb la fórmula a\neq a aplicada a aquest conjunt x. Així, el conjunt buit és el conjunt


\{a\in x\mid a\neq a\},


amb el terme a\in x\mid a\neq a una descripció impropia.


[editar] L'axioma de parells

De l'axioma de parells es té o no, a partir de dues conjunts x i i, el conjunt {x,i}. Aquest conjunt es diu parell desordenat de x i i. Si s'aplica l'axioma de parells a un sol conjunt x, s'obté el parell {x,x} l'únic element de la qual és, òbviament, x, i per això pot representar-se com {x}. A aquest últim conjunt pot aplicar-se-li de nou l'axioma de parells, donant lloc al conjunt {{x}}, conjunt al com pot aplicar-se també l'axioma de parells, obtenint-se el conjunt {{{x}}}, i així successivament. Aquest procés de construcció de conjunts pot aplicar-se a l'únic conjunt donat i conegut explícitament, \empty, obtenint-se una sèrie infinita de conjunts


\empty, \{\empty\}, \{\{\empty\}\},\ldots

[editar] L'axioma d'unió

Si A és una col·lecció de conjunts, llavors la unió \bigcup A conté aquells i sol aquells elements que estan en algun conjunt de A . Si A=\{x_1,x_2\ldots x_n\}, un conjunt amb n elements, llavors és comú escriure


x_1\cup\ x_2\cup\cdots\cup x_n


per a representar la unió dels conjunts de A . És fàcil veure que


 a\in x\cup y\ \leftrightarrow\ a\in x\vee a\in y ,


de manera que l'axioma d'unió i l'axioma de parells garanteixen l'existència del conjunt x\cup y=\{a\mid a\in x\vee a\in y\} per a qualssevol conjunts x i i, un fet que no pot deduir-se simplement de l'esquema d'especificació juntament amb els axiomas restants. A diferència de la unió, la intersecció de conjunts és deducible a partir de l'axioma de parells i l'esquema d'especificació. Efectivament, doncs es defineix el conjunt x\cap y mitjançant


a\in x\cap y\ \leftrightarrow\ a\in x\wedge a\in y,


i per tant x\cap y existeix. Més general, es defineix el conjunt


\bigcap A=\{a\mid \forall y(y\in A\ \rightarrow\ a\in y\}.


[editar] L'axioma del conjunt potencia

L'axioma del conjunt potencia ens dóna un conjunt que conté a tots els subconjuntos de qualsevol conjunt. Per tant, \mathcal{P}(\empty)=\{\empty\}. Ja que x\in \mathcal{P}(x) per a qualsevol que sigui el conjunt x, pot fer-se ús de l'esquema d'especificació per a obtenir el conjunt


\{x\}=\{a\in\mathcal{P}(x)\mid a=x\},


Si i és un altre conjunt, similarmente s'obté al conjunt {i} com un subconjunto de \mathcal{P}(y). Després


\{x\}\cup\{y\}=\{x,y\},


de manera que l'axioma de parells pot deduir-se de l'axioma del conjunt potencia, l'esquema d'especificació i l'axioma d'unió. Així doncs, no tots els axiomas de ZF són independents.

[editar] L'esquema axiomático d'especificació

L'esquema d'especificació resulta ser una versió limitada o feble de l'axioma de Frege. Per a aquest últim, era possible tenir un conjunt els elements del qual satisfeien certa propietat. Amb això Frege garantia massa, i donava un lloc en el seu sistema a paradoxes com la de Russell, entre unes altres. Per una altra part, l'esquema d'especificació va d'acord amb una doctrina de reducció de la grandària. Permet obtenir conjunts a partir d'uns altres, i la grandària dels quals és menor que el d'aquells dels quals han estat obtinguts. Això implica que, necessàriament, expliquem amb conjunts prèviament donats. Per tant, mai és possible pensar en la fórmula x\in x, doncs el conjunt x no pot ser obtingut sense més que sí mateix. La paradoxa de Russell sorgeix precisament de considerar que conjunts molt grans poden ser obtinguts de forma gratuïta sense més que especificar cuales són els seus elements. Altres paradoxes que han de veure amb la gran grandària dels conjunts, queden excloses de ZF mitjançant l'esquema d'especificació. Ara bé, el calificativo d'esquema s'ha d'al fet que no és un únic axioma, sinó que aquest afirma (metamatemáticamente) que qualsevol expressió de la forma


\forall x\exists y\forall a (a\in y\ \leftrightarrow\ a\in x\wedge \phi(a))


on φ(a )/a ) és una fórmula del llenguatge de la teoria de conjunts és un axioma de ZF. Així, si considerem l'existència d'un conjunt x com un axioma, el conjunt buit seria també un axioma resultant d'aplicar l'esquema d'especificació al conjunt x amb la fórmula a\neq a.

L'esquema d'especificació no és independent en ZF, doncs es dedueix de l'esquema de reemplaço, introduït per Fraenkel i Skolem el mateix any i de forma independent.


[editar] Esquema axiomático de reemplaço

L'esquema de reemplaço diu que si v és un conjunt i θ és una fórmula amb dues variables lliures x i i, tals que per a cada x\in v existeix un únic i tal que θ( x,i) es compleix, llavors existeix un conjunt w tal que y\in w si i sol si θ( x,i).

Per a mostrar com l'esquema d'especificació es dedueix de l'esquema de reemplaço, es considera a fórmula


\theta(x,y)\equiv (\phi(x)\wedge x=y) ,


on x qualsevol element d'un conjunt v. Si φ(x), llavors ciertamente existeix un únic i tal que \phi(x)\wedge x=y (doncs és x mateix), pel que la hipòtesi de l'esquema de reemplaço es compleix, amb el que existeix un conjunt w tal que


y\in B\ \leftrightarrow\ \exists x(x\in v\wedge\phi(x)\wedge x=y),


el que és lògicament equivalent al fet que existeix un conjunt w tal que


x\in w\ \leftrightarrow\ x\in v\wedge\phi(x).


La formulación que s'ha donat de l'axioma de reemplaço va ser introduïda per primera vegada per Fraenkel [1929], i va aparèixer també en els treballs de Church [1942]. Una forma més feble d'aquest esquema axiomático a sembla en els treballs de Tarski [1948]. La formulación original, donada per Fraenkel [1921/22 i 1927] i Skolem [1922/23 i 1929], és en essència com segueix:

  • Per a tot conjunt s i qualsevol funció f definida en s , existeix un conjunt t tal que f(x)\in t per a tot x\in s.

L'esquema de reemplaço va ser introduït per Fraenkel i Skolem amb la finalitat d'estendre la força de l'esquema d'especificació, així com també possibilitar el conteo de nombres ordinales més enllà del que permet l'axioma d'infinitud.

[editar] Axioma d'infinitud

L'axioma d'infinitud, introduït (encara que no en la forma en què s'ha presentat aquí) per Zermelo [1908], permet l'obtenció dels nombres naturals com conjunts dintre de ZF. En termes generals, aquest axioma dóna un conjunt infinit segons Dedekind, doncs garanteix l'existència d'un conjunt X sobre el qual existeix almenys una funció f:X\rightarrow X inyectiva i no sobreyectiva (que clarament no existeix per a un conjunt finito). És a dir, la funció f és tal que \mathcal{D}(f)=X i \mathcal{R}(f)\subset X, pel que el rang de f és un subconjunto propi del seu domini, X. Però, en aquest cas, l'aplicació


g:X\rightarrow\mathcal{R}(f)


donada per g (x) = f(x), és biyectiva. La conclusió és que existeix una biyección entre X i un de les seves subconjuntos propis. Ara bé, el conjunt X l'existència del qual garanteix l'axioma d'infinitud, compleix les següents coses:


( i ) \empty\in X.

( ii ) x\in X implica x\cup\{x\}\in X.


Però és possible que subconjuntos de X compleixin això mateix (un subconjunto així de X es denomina conjunt inductivo). Si I és el conjunt de tots els subconjuntos inductivos de X , I és no buit, doncs X\in Y. Així, pot formar-se la intersecció


\bigcap Y=\{x\in X\mid\forall y(y\in Y\rightarrow x\in y)\}


de tots els conjunts inductivos. Aquest conjunt és clarament inductivo, i els seus elements són


\empty, \{\empty\}, \{\empty, \{\empty\}\},\ldots


mateixos que poden ser considerats els nombres naturals en ZF, i pot cridar-se \bigcap Y=\mathbb{N}. S'observa que, d'aquesta manera, un nombre natural és un conjunt que conté a tots els nombres naturals anteriors a ell. El conjunt de nombres naturals queda d'aquesta forma bé ordenat per la inclusió. Qualsevol nombre natural de la forma n\cup\{n\} per a algun n\in\mathbb{N} es diu següent de n , i es representa per n + o per s (n). Mitjançant aquesta definició de \mathbb{N} poden provar-se els axiomas de Peano, amb el que en ZF aquests es converteixen en teoremas (més exactament, quatre teoremas i un metateorema) senzills:

  • \empty\in\mathbb{N}
  • \forall n(n\in\mathbb{N}\rightarrow s(n)\in\mathbb{N})
  • \forall n(n\in\mathbb{N}\rightarrow\empty\neq s(n))
  • \forall m,n(s(m)=s(n)\rightarrow m=n)
  • \forall n(\empty\in S\wedge n\in S\ \rightarrow s(n)\in S) implica S=\mathbb{N}.


La forma en què s'ha presentat l'axioma d'infinitud s'ha de Fraenkel, i permet la construcció dels nombres naturals com nombres ordinales en el sentit de von Neumann. En aquesta forma va ser utilitzat per R. M. Robinson en el seu The thory of classes [1937] (en on presenta una modificació del sistema de von Neumann), així com també per Bernays [1942].


Zermelo va introduir l'axioma d'infinitud [1908] de forma essencialment similar a la següent:

  • Existeix un conjunt X tal que

( i ) \empty\in X

( ii ) x\in X\ \rightarrow\ \{x\}\in X


Així, pot obtenir-se el conjunt de nombres naturals els elements dels quals són


\empty, \{\empty\}, \{\{\empty\}\},\ldots


L'ordre que s'estableix entre aquests elements és el de la inclusió.

Aquest axioma d'infinitud de Zermelo no té els avantatges que té l'axioma d'infinitud de Fraenkel.

[editar] Axioma de regularitat o de fundació

L'axioma de regularitat donat aquí s'ha de Zermelo [1930], si bé von Neumann va presentar un equivalent [1929], encara que més complicat. Aquest axioma prohibeix l'existència de conjunts estranys, tals com conjunts que compleixin


x\in x


o


x\in y\wedge y\in x,


així com també l'existència de cadenes descendents infinites:


\ldots\in x_2\in x_1\in x_0.


Existeixen sistemes de la teoria de conjunts on s'exclou aquest axioma. La teoria que resulta d'afegir un contrari de l'axioma de regularitat es coneix com Teoria de conjunts no bé fundats.


[editar] Axioma d'elecció

A diferència dels axiomas de ZF, l'axioma d'elecció és un axioma no constructiu, en el sentit que no determina un conjunt únic a partir de la seva informació. A més, com pot observar-se, manca de l'obviedad que (encara que la complexitat notacional d'aquests faci en alguns casos pensar el contrari) caracteritza a tots els altres axiomas. Això va portar a alguns matemàtics a l'intent de provar l'axioma d'elecció a partir dels altres axiomas, cosa en el que tots ells van fracassar. Aquests intents vans de provar l'axioma d'elecció després de grans esforços, i certes peculiaritats del mateix, van fer que alguns matemàtics pensessin ja en la possible independència de l'axioma d'elecció respecte dels axiomas de ZF, encara que no sabien que adreça es trobava la prova d'això. Gödel va provar [1930/1940] que l'axioma d'elecció era consistent amb els axiomas de ZF, pel que podia emprar-se juntament amb ells sense temor d'obtenir contradiccions. Avui se sap que, en efecte, l'axioma d'elecció és independent en ZF. La independència de l'axioma d'elecció la va demostrar Fraenkel en un paper que va publicar en 1922, titulat La noció de "definit" i la independència de l'axioma d'elecció (Der Begriff "definit" und die Unabhängigkeit donis Auswahlsaxiom).


L'axioma d'elecció va ser presentat per Russell i 1906 de manera essencialment similar a la següent:

  • Per a tot conjunt X no buit de conjunts disjuntos tal que \empty\notin X, el producte cartesiano de X és no buit.


Russell va cridar a aquest principi Axioma multiplicativo. El nom d'Axioma d'elecció (Auswahlaxiom) va ser donat per Zermelo al principi més general que el de Russell:


  • Per a tot conjunt no buido X tal que \empty\notin X, existeix una funció f els arguments de la qual X són elements de X , tal que f(x)\in x.


El nom de l'axioma s'ha del fet que la funció f elije un element de cada element (conjunt) x de X .


Zermelo va introduir l'axioma d'elecció per a provar el teorema de bona ordenació que afirma que tot conjunt pot ser ben ordenat. Va mostrar també que el lema de Kuratowski-Zorn es dedueix de l'axioma d'elecció. En realitat, l'axioma d'elecció és equivalent tant al teorema de bona ordenació com al lema de Kuratowski-Zorn (la majoria de les vegades simplement anomenat Lema de Zorn). La següent llista enumera alguns principis equivalents en ZF a l'axioma d'elecció:

  • Teorema de bona ordenació.
  • Lema de Kuratowski-Zorn.
  • Llei de tricotomía de cardinales.
  • Principi del maximal d'Hausdorff.
  • Lema de Teichmüler-Tukey.

Sierpinski va provar [1947] que la Hipòtesi del continu (un principi ad hoc que ha de ser acceptat com axioma de la teoria de conjunts) implica l'axioma d'elecció, si bé el recíproc no és cert. Un altre principi que implica l'axioma d'elecció és l'axioma de conjunts inaccessibles de Tarski [1938/1939].

[editar] Vegi's també


[editar] Bibliografía

  1. Keith Devlin, The Joy of Sets (Fundamentals of Contemporary Set Theory), Springer, New York.
  2. Peter J. Cameron, Sets, Logic and Categories, Springer, New York.
  3. Patrck Suppes, Axiomatic Set theroy, Van Nostrand Company, New York.
  4. Paul R. Halmos, Naive Set Theory, Springer, New York.