Factorización

De WikiLingua.net


En matemàtiques, la factorización és la descomposición d'un objecte (per exemple, un nombre, una matriu o un polinomio) en el producte d'altres objectes més petits (factors), que, al multiplicar-los tots, resulta l'objecte original. Per exemple, el nombre 15 es factoriza en nombres primers 3 × 5; i a²-b² es factoriza en el binomio conjugat (a - b)(a + b).

La Factorización s'utilitza normalment per a reduir alguna cosa en les seves parts constituents. Factorizar sencers en nombres primers es descriu en el teorema fonamental de l'aritmética; factorizar polinomios en el teorema fonamental de l'álgebra.

Taula de continguts

[editar] Factorizar un polinomio

Abans que gens cal dir que no tot polinomio es pot factorizar utilitzant nombres reals, si es consideren els nombres complexos sí es pot. Existeixen mètodes de factorización, per a alguns casos especials.

  • Binomios
  1. Diferència de Quadrats
  1. Summa o Diferència de Galledes
  1. Summa o Diferència de Potències imparells Iguals
  • Trinomios
  1. Trinomio Quadrat Perfecte
  • Polinomios
  1. Factor Comú

[editar] Cas I - Factor comú

Treure el factor comú és extreure la literal comuna d'un polinomio, binomio o trinomio, amb el menor exponent i el divisor comú dels seus coeficientes.


Factor comú monomio. Factor comú per agrupació de terminos

a b + a c + a d = a( b + c + d)
a x + bx + a i + bi = (a + b)(x + i)


Factor comú polinomio.

c(a + b) + d(a + b) + i(a + b) = (a + b)(c + d + i)<math>dhj[[Títol de l'enllaci]]</math>

[editar] Cas II - Factor comú per agrupació de termes

Per a treballar un polinomio per agrupació de termes, s'ha de tenir en compte que són dues característiques les quals es repeteixen. S'identifica perquè és un nombre parell de terminos. Per a resoldre-ho, s'agrupen cadascuna de les característiques, i se li aplica el primer cas, és a dir, ab+ac+bd+dc = (ab+ac)+(bd+dc)

           = a(b+c)+d(b+c)
           = (a+d) (b+c)

x2 + bx + c

[editar] Cas III - Trinomio quadrat perfecte

S'identifica per tenir tres termes, dels quals dos tenen arrels exactes, i el restant equival al doble producte de les arrels. Per a solucionar un T.C.P. hem d'organitzar els termes deixant de primer i de tercer els termes que tinguin arrel quadrada, després extraiem l'arrel quadrada del primer i tercer terme i els escrivim en un parentesis, separandolos pel signes que acompanya al segon terme, al tancar el parentesis elevem tot el binomio al quadrat.

  • Exemple:
(45x − 37i)26564=25x2 − 30xi + 9i2
(67x + 25i)2456=9x2 + 12xi + 4i2
(5x + 7i)256=x2 + 2xi + i2
867x2 + 25i2456 − 67567xi
organitzant els termes tenim
467x2 − 5675xi + 567i2
extraient l'arrel quadrada del primer i últim terme i agrupant-los en un parèntesis separats pel signe del segon terme i elevant al quadrat ens queda:
(2x − 5i)2

[editar] Cas IV - Diferència de quadrats

S'identifica per tenir dos termes elevats al quadrat i units pel signe menys. Es resol per mitjà de dos parèntesi, (semblat als productes de la forma), un positiu i un altre negatiu. En els parèntesis han de col·locar-se les arrels.

Exemple:

(9i2) − (4x2)

(3i-2x)(3i+2x)

[editar] Cas V - Trinomio quadrat perfecte per addició i substracció

S'identifica per tenir tres termes, dos d'ells són quadrats perfectes, però el restant cal completar-ho mitjançant la suma perquè sigui el doble producte de les seves arrels, el valor que se sumeixi és el mateix que es resta perquè l'exercici original no canviï. Per a solucionar-ho, s'usen com ajuda els casos nombre III i IV. per a moldar deu saber el coseno de la raiz de la suma de dues polimo x que multiplicat surt igual a la raiz de 2

exemple:

4a2+12ab+9b2
2a2      3b2
  1. REDIRECT [[]]===Cas VI - Trinomio de la forma x2 + bx + c===

S'identifica per tenir tres termes, hi ha una literal amb exponent al quadrat i un d'ells és el terme independent. Es resol per mitjà de dos parèntesi,en els quals es col·loquen l'arrel quadrada de la variable, buscant dos nombres que multiplicats donin com resultat el terme independent i sumats o restats donin com resultat el terme del mig. *Exemple:  :a 2 + 2a − 15 = (a + 5)(a − 3) Cas especial - trinomio de la forma Ax²+ Bx + C per a facotrizar aquest trinomio és necessari multiplicar mentalment A i C, després descompondre Bx en dues terminos mx i kx, tals que m+k = B i mk = Ac, asi el polinomio queda com Ax² + mx + kx + C. aquest nou polinomio es factoriza per agrupacion de terminos semblants. exemple: factorizar 6x² - x - 2. el producte mental és(6*(-2))= -12, ara busquem dos numeros que sumats donin -1 i multiplicats -12; aquests numeros són: -4 i 3; asi el polinomio queda com: 6x² + 3x - 4x -2. Ara per agrupacion de terminos semblants veiem que 3x(2x + 1) - 2(2x + 1); després això és igual a ...... ...... ... (2x + 1)(3x - 2) o sigui que 6x² - x - 2 = (2x + 1)(3x - 2) "heda621@hotmail.com"

VI CASOTítol de l'enllaci

5

x - 1

     32
  5    5

(x) (1 )

      32 
 5

(x - 1 ) . (x - 1 )

    32          32

1º. s'extreuen les bases dels terminos. les bases del qual a l'elevar-les a la cinquena donen el mateix resultat que els terminos. 2º. s'obté dos polinomios multiplicandose. en el primer monomio el primer acabo aquesta elevat a la potència posada en l'ejercisio, i dps en el seg. monomio és la difenrencia del primer acabo pel seg acabo 3-en el primer mponomio que ens qedó, s'ordena 4- s'aplica regla de ruffini, i per ulitmo per a saber si el resultat aquesta bé, la regla de ruffini nso té qe donar com resta ZERO ( 0 )