Nombre real

De WikiLingua.net


    \mathbb{C} \mbox{    Complejos}
    \begin{cases} 
        \mathbb{R} & \mbox{Reales}
        \begin{cases}
            \mathbb{Q} & \mbox{Racionales}
                \begin{cases}
                    \mathbb{Z} & \mbox{Enteros}
                    \begin{cases}
                        \mathbb{N} & \mbox{Naturales} \\
                                   & \mbox{Enteros negativos}
                    \end{cases}\\
                                & \mbox{Fraccionarios}
                \end{cases}\\
                       & \mbox{Irracionales}
        \end{cases}\\
         & \mbox{Imaginarios}
    \end{cases}


Els nombres reals es defineixen de manera axiomática com el conjunt de nombres que es troben en correspondència biunívoca amb els punts d'una recta infinita (continuum): la recta numèrica. El conjunt dels nombres reals se li simbolitza amb la lletra \mathbb{R}. El nom de nombre real es va proposar com antónimo de nombre imaginari.

Número real
Nombre real

El concepte de nombre real es va originar quan es va constatar l'existència dels nombres irracionals. Així, el conjunt dels nombres reals es defineix com la unió del conjunt dels nombres racionals i el conjunt dels irracionals.

A causa de que el conjunt de nombres reals conté al conjunt de nombres racionals, i aquest al seu torn conté als sencers que al seu torn conté els nombres naturals, se suggereix que el conjunt dels nombres reals conté també als nombres sencers i als nombres naturals. Així mateix, el conjunt de nombres reals conté al dels nombres irracionals.

Per tant, els nombres reals poden ser racionals o irracionals, algebraicos o trascendentes; i positius, negatius, o zero.

Pot definir-se un nombre real, en aquests termes, com un nombre positiu o negatiu que pot o no tenir xifres de decimal finito o infinit i pot representar-se mitjançant un punt en la recta de nombres reals. En aquest sentit, el teorema fonamental de la geometría analítica estableix que a cada nombre real li correspon un punt en la recta dels nombres reals i viceversa.

Amb nombres reals poden realitzar-se tot tipus d'operacions bàsiques amb dues excepcions importants:

1.- No existeixen arrels d'ordre parell (quadrades, quartes, sisenes, etc) de nombres negatius en nombres reals, raó per la qual existeix el conjunt dels nombres complexos on aquestes operacions sí estan definides.

2.- No existeix la divisió entre zero, doncs manca de sentit dividir entre res o entre ningú, és a dir, no existeix l'operació de dividir entre res.

Aquestes dues restriccions tenen repercussions importants en branques més avançades de les matemàtiques: existeixen asíntotas verticals en els llocs on una funció s'indefine, és a dir, en aquells valors de la variable en els quals es presenta una divisió entre zero, o no existeix gràfica real en aquells valors de la variable en què resultin nombres negatius per a arrels d'ordre parell, per esmentar un exemple de construcció de gràfiques en geometría analítica.

La principal característica del conjunt dels nombres reals és la completitud, és a dir, l'existència de límit per a donada successió de Cauchy de nombres reals.

Taula de continguts

[editar] Notación

Els nombres reals mesuren quantitats contínuas que s'expressen amb fraccions decimals que tenen una seqüència infinita de dígits a la dreta de la mengi decimal, com per exemple 324,8232. Freqüentment també se subrepresentan amb tres punts consecutius al final (324,823211247…), el que significaria que encara falten més dígits decimals, però que es consideren sense importància.

Les mesures en les ciències físiques són sempre una aproximació a un nombre real. No només és més conciso escriure'ls amb forma de fracció decimal (és a dir, nombres racionals que poden ser escrits com proporcions, amb un denominador exacte) sinó que, en qualsevol cas, cunde íntegrament el concepte i significat del nombre real. En l'anàlisi matemàtica els nombres reals són objecte principal d'estudi. Pot dir-se que els nombres reals són l'eina de treball de les matemàtiques de la continuïtat, com el càlcul i l'anàlisi matemàtica, mentre que els nombres sencers el són de les matemàtiques discretes, en les quals està absent la continuïtat.

Es diu que un nombre real és recursivo si els seus dígits es poden expressar per un algoritmo recursivo. Un nombre no-recursivo és aquell que és impossible d'especificar explícitament. Així i tot, l'escola russa de constructivismo suposa que tots els nombres reals són recursivos.

Els ordinadors només poden aproximar-se als nombres reals per nombres racionals; de totes maneres, alguns programes d'ordinador poden tractar un nombre real de manera exacta usant la seva definició algebraica (per exemple, "\sqrt{2}") en comptes de la seva respectiva aproximació decimal.

Els matemàtics usen el símbol \mathbb R (o, d'una altra forma, \mathbf{R}, la lletra "R" en negrita) per a representar el conjunt de tots els nombres reals.

La notación matemàtican" src="../../../../math/d/2/0/d2032d2e7db474bc8337d1e498d1a045.png" /\> ]es refereix a un espai de n dimensions dels nombres reals; per exemple, un valor3" src="../../../../math/c/3/5/c35ed5f43a2953196b55e5207a2c959e.png" /\> ]consisteix de tres nombres reals i determina un lloc en un espai de tres dimensions.

En matemàtica, la paraula "real" s'usa com adjectiu, amb el significat que el camp subyacente és el camp dels nombres reals. Per exemple, matriu real, polinomio real, i Álgebra de Lie real.

[editar] Història

Els egipcis van utilitzar per primera vegada les fraccions comunes al voltant de l'any 1000 a. C.; al voltant del 500 a. C. el grup de matemàtics grecs liderats per Pitágoras es va adonar de la necessitat dels nombres irracionals. Els nombres negatius van ser inventats per matemàtics indis a prop del 600, possiblement reinventados a Xina poc després, i no es van utilitzar a Europa fins al segle XVII, si bé a la fi del XVIII Leonhard Euler va descartar solucions negatives per a les ecuaciones perquè ho considerava irreal. En aquest segle, en el càlcul s'utilitzava un conjunt de nombres reals sense una definició concisa, cosa que finalment va succeir amb la definició rigorosa feta per Georg Cantor en 1871.

En realitat, l'estudi rigorós de la construcció total dels nombres reals exigeix tenir amplis antecedents de teoria de conjunts i lògica matemàtica. Va ser assolida la construcció i sistematización dels nombres reals en el segle XIX per dos grans matemàtics europeus utilitzant vies distintes: la teoria de conjunts de Georg Cantor (encajamientos successius, cardinales finitos i infinits), d'una banda, i l'anàlisi matemàtica de Richard Dedekind (veïnatges, entorns i cortaduras de Dedekind). Ambdós matemàtics van assolir la sistematización dels nombres reals en la història no de manera espontània, sinó tirant mà de tots els avanços previs en la matèria: des de l'antiga Grècia i passant per matemàtics com Descartis, Newton, Leibniz, Euler, Lagrange, Gauss, Riemann, Cauchy i Weierstrass, per esmentar només als més excel·lents.

En l'actualitat, solament els especialistes coneixen amb profunditat alguna o ambdues teories en relació a la construcció total dels nombres reals, la qual cosa no ens impedeix el treball amb ells.

[editar] Construccions dels nombres reals

[editar] Construcció axiomática

Article principal: Axiomas dels nombres reals

El conjunt de nombres reals, denotat per \mathbb{R} és aquell conjunt en el qual cada element compleix cadascuna de les següents proposicions:

  1. Si x,y\in\mathbb{R}, llavors x+y\in\mathbb{R} (Pany en la suma)
  2. Si x,y\in\mathbb{R}, llavors x+y=y+x\, (Conmutatividad en la suma)
  3. Si x,y,z\in\mathbb{R}, llavors (x+y)+z=x+(y+z)\, (Asociatividad en la suma)
  4. Existeix 0\in\mathbb{R} de manera que x+0=x\, Å x\in\mathbb{R} (Neutro additiu)
  5. Per a cada x\in\mathbb{R} existeix un element -x\in\mathbb{R} tal que -x+x=0\, (Invers additiu)
  6. Si x,y\in\mathbb{R}, llavors xy\in\mathbb{R} (Pany en la multiplicación)
  7. Si x,y\in\mathbb{R}, llavors xy=yx\, (Conmutatividad en la multiplicación)
  8. Si x,y,z\in\mathbb{R}, llavors (xy)z=x(yz)\, (Asociatividad en la multiplicación)
  9. Existeix 1\in\mathbb{R} de manera que x1=x\, per a qualsevol x\in\mathbb{R} (Neutro multiplicativo)
  10. Per a cada x\in\mathbb{R} existeix un element{-1}\in\mathbb{R}" src="../../../../math/8/b/6/8b6f9890e6a2414b455f16f3112a625e.png" /\> ]tal que{-1}x=1\," src="../../../../math/a/a/8/aa84dffa1e4b45294ef88db0d8802eef.png" /\> ](Invers multiplicativo)
  11. Si x,y,z\in\mathbb{R}, llavors x(y+z)=xy+xz\, (Distributividad de la multiplicación en la suma)
  12. Si x,y\in\mathbb{R}, llavors es compleix només una d'aquestes: (Tricotomía)
    • x<y\,
    • y<x\,
    • x=y\,
  13. Si x,y,z\in\mathbb{R}, x<y\, i y<z\, llavors x<z\, (Transitividad)
  14. Si x,y,z\in\mathbb{R} i x<y\,, llavors x+z<y+z\, (Monotonía en la suma)
  15. Si x,y,z\in\mathbb{R}, x<y\, i  0<z \,, llavors xz<yz\, (Monotonía en la multiplicación)
  16. Si  E \subset \mathbb{R} és un conjunt acotado superiormente en  \mathbb{R} , llavors  E \, té suprem en  \mathbb{R} (Axioma del suprem)

Els axiomas de l'1 al 15 corresponen a l'estructura més general de cos ordenat. L'últim axioma és el qual distingeix  \mathbb{R} d'altres cossos ordenats com  \mathbb{Q}.

[editar] Construcció per nombres decimals

Considerem els nombres decimals com els coneixem intuitivamente. Sabem que \pi=3.1415926535897932384626\dots, és a dir, el nombre π s'expressa com el nombre sencer 3 i una seqüència infinita de dígits 1, 4, 1, 5, 9, 2, etc.

Un nombre decimal s'expressa llavors com x.d_1d_2d_3d_4\dots on x és un nombre sencer i cada di és un element del conjunt {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}. A més, considerem que no existeixen les cues de9 .

Al conjunt de tots els nombres decimals on x és un nombre sencer positiu se li denota per+" src="../../../../math/e/5/7/e579ecffb2b0c4377c69fd7c38fcf0c2.png" /\> ]i se li crida el conjunt dels nombres reals positius.

Al conjunt de tots els nombres decimals on x és un nombre sencer negatiu se li denota per-" src="../../../../math/0/9/2/092c804f1b512aa725d46fbbd07ce481.png" /\> ]i se li crida el conjunt dels nombres reals negatius.

Al nombre decimal 0.00000\dots se li crida zero.

Al conjunt-\cup\{0.00000\dots\}" src="../../../../math/1/6/f/16f51700b9d684c5b2371b72f772133a.png" /\> ]se li denota per \mathbb{R} i se li crida conjunt de nombres reals.

Es defineix la relació d'ordre total dels nombres decimals com

  1. 0>x\, per a tot.-" src="../../../../math/0/5/1/051a4ed2497aa54db60d5f42e9bdcddf.png" /\>