Nombres paris i imparells

De WikiLingua.net

En matemàtica la paritat d'un objecte es refereix a si aquest és parell o imparell. En particular, qualsevol nombre sencer és parell o imparell.

Un nombre parell és un nombre sencer múltiple de 2, és a dir, un nombre sencer m és nombre parell si i sol si existeix un altre nombre sencer n tal que:

m = 2 × n

Per tant, si multipliquem qualsevol nombre sencer per un nombre parell obtindrem un nou nombre parell. Els següents són nombres paris: 0, 2, 4, 6, ..., i també: -2, -4, -6 ... .

Els nombres imparells són aquells nombres sencers que no són parells i per tant no són múltiples de 2. Els següents són nombres imparells: 1, 3, 5, 7, 9 ..., i també: -1, -3, -5, ... . Sumant o restant 2 a un nombre imparell s'obté un altre nombre imparell. Sumant o restant una unitat a un nombre imparell s'obté un altre nombre parell.

Es diu que un nombre sencer, m, és imparell si i sol si existeix un altre nombre sencer, n, tal que:

m = 2 × n + 1

Taula de continguts

[editar] Reconeixement

Si la base que utilitzem és un nombre parell (per exemple, base 10 o base 8), podrem reconèixer un nombre parell si el seu últim dígit també és parell. D'aquesta manera, és un nombre imparell tot nombre sencer que en base 10 acabi en 1, 3, 5, 7, 9.

Per exemple, el següent nombre en base 10:

35210770610

és parell ja que el seu últim dígit, 6, també és parell.

El mateix succeeix amb el següent nombre en base 6:

21453013546 = 2321171810

[editar] Altres propietats

Els nombres paris tenen les següents propietats pel que fa als imparells:

pa r + pa r = par

pa r + impa r = impar

impa r + impa r = par

Per a demostrar-les, tindrem en compte que qualsevol nombre parell pot ser escrit com 2n i qualsevol nombre imparell com 2n + 1, sent n un nombre natural.

P1 + P2 = 2a + 2b = 2(a + b) = 2n

P1 + I1 = 2a + 2b + 1 = 2(a + b) + 1 = 2n + 1

I1 + I2 = 2a + 1 + 2b + 1 = 2a + 2b + 2 = 2(a + b + 1) = 2n

[editar] Propietats pel que fa a la divisibilidad

  • Dos nombres sencers consecutius són primers entre si, o sigui, no tenen divisores comuns distints de la unitat.
  • Donats tres sencers consecutius, dos seran de la mateixa paritat i un d'ells serà necessàriament múltiple de 3.

[editar] Tipus especials de nombres paris

  • Nombre parmente parell: És el nombre parell que dóna resta 2 quan és dividit per 4.

\ P = 2.m + 2 , amb m un nombre natural qualsevol.

  • Els nombres factoriales distints de la unitat són tots parells.
  • Els nombres congruents de Fibonacci són tots parells. Segons la definició del mateix Fibonacci (Leonardo de Trepitja, Filius Bonacci), que apareix en el seu llibre "Liber Quadratorum" (1225), un nombre congruent és de la forma m.n (m² - n²), amb m i n sencers positius imparells i m > n.

[editar] Tipus especials de nombres imparells

  • Els nombres primers de la forma \ 4.n + 1 , amb n un nombre natural qualsevol, es descomponen d'una única manera en suma de dos quadrats de nombres sencers. Això va ser estudiat per Fermat i permet que aquest primer sigui la hipotenusa d'un triangle rectángulo diofántico o diofantino. Aquestes últimes dues paraules es refereixen a triangles amb costats sencers positius en honor a Diofanto d'Alexandria, qui va estudiar els problemes en els quals interessa obtenir solucions senceres.
  • Els cosins de la forma \ 4.n + 3 no poden expressar-se com suma de dos quadrats sencers, però sí com diferència de quadrats. L'arrel quadrada del quadrat major, o minuendo de la diferència, és igual a \ 2 (n + 1 ) , on n és el mateix natural que apareix en l'expressió del nombre primer./

[editar] Vegi's també