Sistema de numeración

De WikiLingua.net

Sistemes de numeración

Nocions
Notaciones
  • Mixta
Numeraciones

Un sistema de numeración és un conjunt de símbols i regles de generació que permeten construir tots els nombres vàlids en el sistema.

Un sistema de numeración pot representar-se com

N = {S} + {R} \,

on:

  • N és el sistema de numeración considerat (p.ej. decimal, binario, etc.)
  • S són els símbols permesos en el sistema. En el cas del sistema decimal són {0,1...9}; en el binario són {0,1}; en l'octal són {0,1...7}; en l'hexadecimal són {0,1...9,A,B,C,D,I,F}
  • R són les regles que ens indiquen quins nombres són vàlids en el sistema, i quins no.

Aquestes regles són diferents per a cada sistema de numeración considerat, però una regla comuna a tots és que per a construir nombres vàlids en un sistema de numeración determinat només es poden utilitzar els símbols permesos en aquest sistema.

Per a indicar en quin sistema de numeración es representa una quantitat s'afegeix com subíndice a la dreta el nombre de símbols que es poden representar en dit sistema.

Taula de continguts

[editar] Exemples

  • el nombre 125(10) és un nombre vàlid en el sistema decimal, però el nombre 12A(16) no ho és, ja que utilitza un símbol A no vàlid en el sistema decimal.
  • el nombre 35(8) és un nombre vàlid en el sistema octal, però el nombre 39(8) no ho és, ja que el símbol 9 no és un símbol vàlid en el sistema octal.
  • el nombre F1I4(16) és un nombre vàlid en el sistema hexadecimal, però el nombre FKI4(16) no ho és, ja que el símbol K no és un símbol vàlid en el sistema hexadecimal.

[editar] Classificació

Els sistemes de numeración poden classificar-se en dos grans grups: posicionales i no-posicionales.

En els sistemes no-posicionales els dígits tenen el valor del símbol utilitzat, que no depèn de la posició (columna) que ocupen en el nombre.

En els sistemes de numeración ponderats o posicionales el valor d'un dígit depèn tant del símbol utilitzat, com de la posició que aquest símbol ocupa en el nombre.

Per exemple, el sistema de numeración egipci és no posicional, en canvi, el babilónico, posicional.

[editar] Sistemes de numeración no posicionales

El sistema dels nombres romans no és estrictament posicional. Per això, és molt complex dissenyar algoritmos d'ús general (per exemple, per a sumar, restar, multiplicar o dividir).

Com exemple, en el nombre romà XCIX (99 decimal) els numerales X (10 decimal) de l'inici i de la fi de la xifra equivalen sempre al mateix valor, sense importar la seva posició dintre de la xifra.

També el sistema maya va tenir un sistema de numeración posicional que pocs coneixen però que, a més, és additiu com el romà.

[editar] Sistemes de numeración posicionales

El nombre de símbols permesos en un sistema de numeración posicional es coneix com base del sistema de numeración. Si un sistema de numeración posicional té basi b significa que disposem de b símbols diferents per a escriure els nombres, i que b unitats formen una unitat d'ordre superior.

Exemple en el sistema de numeración decimal

El sistema de numeración decimal és posicional,no és el mateix 90 que 09 si expliquem des de 0, incrementant una unitat cada vegada, a l'arribar a 9 unitats hem esgotat els símbols disponibles, i si volem seguir explicant no disposem d'un nou símbol per a representar la quantitat que hem explicat. Per tant afegim una nova columna a l'esquerra del nombre, reutilitzem els símbols que disposem, diem que tenim una unitat de segon ordre (desena), posem a zero les unitats de la dreta,i 1 a la de l'esquerra, i seguim explicant, per cada vegada que la columna de la dreta arribi a 9 i li incrementem una unitat mes, cal augmentar en una unitat en la fila de l'esquerra i riniciar el compte a 0 en la dreta.

D'igual forma, quan expliquem fins a 99, hem esgotat els símbols disponibles per a les dues columnes; per tant si expliquem (sumim) una unitat més, hem de posar a zero la columna de la dreta i sumar 1 a la de l'esquerra (desenes). Però la columna de l'esquerra ja ha esgotat els símbols disponibles, així que la posem a zero, i vam sumar 1 a la següent columna (centena). Com resultat ens queda que 99+1=100.

Com veiem, un sistema de numeración posicional es comporta com un cuentakilómetros: va sumant 1 a la columna de la dreta i, quan la roda d'aquesta columna ha donat una volta (s'esgoten els símbols), es posa a zero i s'afegeix una unitat a la següent columna de l'esquerra.

Però estem tan habituados a explicar usant el sistema decimal que no som conscients d'aquest comportament, i donem per fet que 99+1=100, sense parar-nos a pensar en el significat que tanca aquesta expressió.

Tal és el costum de calcular en decimal que la immensa majoria de la població ni tan sols s'imagina que poden existir altres sistemes de numeración diferents al de base 10, i tan vàlids i útils com est. Entre aquests sistemes es troben el de base 2 Sistema binario, de base 8 Sistema octal i el de base 16 Sistema hexadecimal.

[editar] Teorema Fonamental de la Numeración

Aquest teorema estableix la forma general de construir nombres en un sistema de numeración posicional. Primer establirem unes definicions bàsiques:

  • N: Nombre vàlid en el Sistema de numeración
  • b: base del sistema de numeración. Nombre de símbols permesos en el sistema.
  • d: un símbol qualsevol dels permesos en el sistema de numeración
  • n: nombre de dígits de la part sencera.
  • ,: mengi fraccionaria. Símbol utilitzat per a separar la part sencera d'un nombre de la seva part fraccionaria.
  • k: nombre de dígits de la part decimal.

La fórmula general per a construir un nombre (qualsevol nombre) N en un sistema de numeración posicional de base b és la següent:.i" src="../../../../math/7/1/f/71f2c82cc5cb761a90ecb9f2845d00b4.png" /\>