Superfície

De WikiLingua.net

banda de Möbius

En matemàtica, una superfície és una varietat bidimensional, és a dir, un objecte topológico que, intuitivamente parlant, és localment "semblat" al plànol cartesiano2" src="../../../../math/a/1/f/a1fd49f304c1094efe3fda098d5eaa5f.png" /\> ](tecnicamente localment homeomorfo al plànol). Això significa que per a cada punt d'una superfície hi ha un veïnatge de P (una petita regió que l'envolta) que és homeomorfa a un disc obert de2" src="../../../../math/a/1/f/a1fd49f304c1094efe3fda098d5eaa5f.png" /\>]. Aquesta propietat homeomorfismo amb el plànol permet construir un sistema de coordenadas local bidimensional entorn de qualsevol punt en la superfície. Es pot cridar a l'homeomorfismo local que va de la superfície a2" src="../../../../math/a/1/f/a1fd49f304c1094efe3fda098d5eaa5f.png" /\> ]com carta i a l'invers (d'aquest homeomorfismo) parametrización. No sempre és possible parametrizar una superfície amb un únic homeomorfismo local.

En física, una superfície és una regió "prima" de l'espai o interfase que separa dues fases de propietats diferents. De fet una propietat important de les superfícies físiques és que algunes propietats físiques importants tenen una discontinuidad important. Alguns articles que tracten amb les superfícies des del punt de vista de la física són: tensió superficial, interfase química, rugosidad, etc.

Per a classificació, veure articles independents: Varietat diferenciable, algebraica i topológica

Taula de continguts

[editar] Superfícies en matemàtica

També les superfícies es distingeixen segons siguin orientables o no. Es diu que una superfície és no orientable si conté almenys una sub-superfície que és homeomorfa a una banda de Möbius tancada. Cas contrari es diu orientable.

[editar] Superfícies tancades

Una superfície tancada és una superfície que divideix l'espai en dues regions diferents i disjuntas: una interior a dita superfície que sigui de volum finito i una exterior a dita superfície. En altres paraules, una superfície tancada és la superfície exterior d'un objecte amb volum, com per exemple una esfera. És possible llavors distingir entre dintre de l'esfera i fora de l'esfera. Aquest terme s'utilitza per a diferenciar-les de les superfícies que no tanquen gens en el seu interior, com un plànol infinit.

L'esfera , el toro, el plànol proyectivo, l'ampolla de Klein són exemples de superfícies tancades, és a dir, superfícies sense frontera.

banda de Möbius

Un disc (en2" src="../../../../math/a/1/f/a1fd49f304c1094efe3fda098d5eaa5f.png" /\>]), un cilindre i la banda de Möbius són exemples de superfícies amb frontera. Com la imatge de la dreta. Fent el mateix que en el següent paràgraf.

[editar] Classificació de superfícies

Un importantísimo resultat matemàtic és el teorema de classificació de superfícies tancades, el qual afirma que tota superfície tancada (és a dir, sense frontera o vora) és homeomorfa a algun membre de les següents tres famílies de superfícies:

  1. l'esfera ;
  2. la summa conexa de g\,- toros, sent g \geq 1;
  3. la summa conexa de k plans proyectivos reals, sent k \geq 1.

Dit d'una altra manera, les superfícies anteriors són totes les superfícies tancades que existeixen (excepte homeomorfismo). La superfícies de les dues primeres famílies són orientables. És convenient combinar les dues primeres famílies, considerant l'esfera com la summa conexa de zero toros. El nombre g de toros involucrats en la construcció es denomina gènere de la superfície. Ja que l'esfera i el toro tenen característiques d'Euler 2 i 0, respectivament, es dedueix que la característica d'Euler de la summa conexa de g toros és precisament 2-2g\,.

Deformando una 2-variedad con frontera
Deformando una 2-varietat amb frontera

Les superfícies de la tercera família són no-orientables. La característica d'Euler del plànol proyectivo real és 1, així la summa conexa de k d'ells és is 2-k\,.

De tot això se segueix, que una superfície tancada està determinada -excepte homeomorfismo- per dues propietats: el valor numèric de la seva característica d'Euler (o el seu gènere) i si és o no-orientable.

És possible classificar també les superfícies que no són tancades (és a dir, amb frontera). Això s'obté com l'esquema anterior, afegint el nombre de fronteres que té la superfície.

[editar] Vegi's també

[editar] Enllaços externs

Icono de esbozo
 El contingut d'aquesta pàgina és un esbós sobre matemàtica. Ampliant-ho ajudaràs a millorar Wikipedia.
Pots ajudar-te amb les wikipedias en altres llengües.