Tensor deformación

De WikiLingua.net

El tensor deformación o tensor de deformaciones és un tensor simétrico usat en mecànica de mitjans continus i mecànica de sòlids deformables per a caracteritzar el canvi de forma i volum d'un cos. En tres dimensions un tensor (de rang dos) de deformación té la forma general:


\mathbf{D} =
\begin{pmatrix}
  \varepsilon_{11} & \varepsilon_{12} & \varepsilon_{13} \\
  \varepsilon_{21} & \varepsilon_{22} & \varepsilon_{23} \\  
  \varepsilon_{31} & \varepsilon_{32} & \varepsilon_{33} 
\end{pmatrix}


On cadascuna de les components de l'anterior tensor és una funció el domini de la qual és el conjunt de punts del cos que la seva deformación pretén caracteritzar-se. El tensor de deformaciones està relacionat amb el tensor de tensions mitjançant les ecuaciones d'Hooke generalitzades, que són relacions de tipus termodinámico o ecuaciones constitutivas per al material del que està fet el cos.

Tingui's en compte que aquestes components εij) en general varien de punt a punt del cos i per tant la deformación de cossos tridimensionales es representa per un camp tensorial.

Taula de continguts

[editar] Tipus de tensores de deformación

En mecànica de mitjans continus es distingeix entre diversos tipus de tensores per a representar la deformación. Els tensores finitos de deformación mesuren la veritable deformación, poden usar-se tant deformaciones grans com petites i poden adonar de no-linealidades geomètriques. Quan les deformaciones són petites amb bastant adequació es pot usar el tensor infinitesimal de deformaciones que s'obté menyspreant alguns termes no-lineals dels tensores finitos. En la pràctica més comuna de l'enginyeria per a la majoria d'aplicacions pràctiques s'usen tensores infinitesimales. A més per als tensores finitos es diferencia entre tensores materials i tensores espacials segons sigui el sistema de coordenadas usat per a representar-ho.

[editar] Tensor infinitesimal de deformación

  • Tensor inifitesimal de Green-Cauchy, o tensor ingenieril de deformaciones, és l'usat comúnmente en enginyeria estructural i que constitueix una aproximació per a caracteritzar les deformaciones en el cas de molt petites deformaciones (inferiors en valor absolut a 0,01). En coordenadas cartesianas dit tensor s'expressa en termes de les components del camp de desplaçaments com segueix:

\tilde{\varepsilon}_{ij} = {1 \over 2} \left({\part u_i \over \part x_j} + {\part u_j \over \part x_i}\right) \qquad \Rightarrow \begin{cases}
\varepsilon_{xx} = \cfrac{\part u}{\part x}, \quad \varepsilon_{yy} = \cfrac{\part v}{\part y},
\quad \varepsilon_{zz} = \cfrac{\part w}{\part z} \\
\varepsilon_{xy} = \varepsilon_{yx} = \cfrac{1}{2} \left(\cfrac{\part u}{\part y}+
\cfrac{\part v}{\part x}\right) \\
\varepsilon_{xz} = \varepsilon_{zx} = \cfrac{1}{2} \left(\cfrac{\part u}{\part z}+
\cfrac{\part w}{\part x}\right) \\
\varepsilon_{yz} = \varepsilon_{zy} = \cfrac{1}{2} \left(\cfrac{\part v}{\part z}+
\cfrac{\part w}{\part y}\right)  \end{cases}

On:

\mathbf{u} = (u_1,u_2,u_3) = (u,v,w) representa el camp vectorial de desplaçaments del cos, és a dir, la diferència entre la posició final i inicial de cada punt i x1 = x, x2 = i i x3 = z són les coordenadas preses sobre la forma geomètrica original del cos.
\mathbf{r} = (x_1,x_2,x_3) = (x,y,z) són les coordenadas de cada punt material del cos.

Les components del tensor infinitesimal de Green-Cauchy admeten interpretacions físiques relativament simples:

  • L'element diagonal εii, també denotat εi, representa els canvis relatius de longitud en l'adreça i, adreça donada per l'eix Xi). La summa ε112233 és igual al canvi de volum relatiu del cos.
  • Els elements εij (= 1/2·γij) (ij) representen deformaciones angulares, més concretament la variació de l'angle recte entre les adreces ortogonales i i j. Per tant la distorsió o canvi de forma ve caracteritzada per 3 components d'aquest tensor deformación (ε12, ε13, ε23).

[editar] Tensores finitos de deformación

Tots aquests tensores es construeixen a partir del tensor gradiente de deformaciones (tensores materials) o bé del seu invers (tensores espacials). Si pensem que una deformación és una aplicació:3" src="../../../../math/2/d/5/2d5baa0d311193ffa329d5231a8e419c.png" /\> ]on K és el conjunt de punts de l'espai ocupats pel sòlid (o mig continu) abans de la deformación i K' el conjunt de punts de l'espai ocupats després de la deformación. Llavors podem definir tensor gradiente de deformaciones com el jacobiano de T D:


\mathbf{F} = J\mathbf{T_D} =
\begin{pmatrix}
  \cfrac {\partial x'}{\partial x} & \cfrac {\partial x'}{\partial y} & \cfrac {\partial x'}{\partial z} \\
  \cfrac {\partial y'}{\partial x} & \cfrac {\partial y'}{\partial y} & \cfrac {\partial y'}{\partial z} \\  
  \cfrac {\partial z'}{\partial x} & \cfrac {\partial z'}{\partial y} & \cfrac {\partial z'}{\partial z} 
\end{pmatrix}


On (x,i,z) representen les coordenadas d'un punt genèric abans de la deformación i (x',i',z' ) les coordenadas del mateix punt després de la deformación. En funció d'aquest tensor gradiente de deformaciones es definien els següents tensores finitos de deformación:

  • Tensor Deformación material de Green-Lagrange. Es pot obtenir a partir del tensor gradiente de deformación i el seu traspuesto:.{T}\mathbf{F}-\mathbf{1})" src="../../../../math/6/8/9/689639b1f7e1fbddd477d75780fe994f.png" /\>