Teoria de nombres
De WikiLingua.net
La teoria de nombres és la branca de matemàtiques pures que estudia les propietats dels nombres en general i dels sencers en particular, així com diversos problemes derivats del seu estudi. Conté una quantitat considerable de problemes que podrien ser compresos per "no matemàtics". De forma més general, aquest camp estudia els problemes que sorgeixen amb l'estudi dels sencers. Tal com cita Jürgen Neukirch:
La teoria de nombres ocupa entre les disciplines matemàtiques una posició idealizada análoga a aquella que ocupen les matemàtiques mateixes entre les altres ciències.[2]
El terme "aritmética" també era utilitzat per a referir-se a la teoria de nombres. Aquest és un terme bastant antic, encara que ja no tan popular com en el passat. D'allí la teoria de nombres sol ser denominada alta aritmética,[3] encara que el terme també ha caigut en desús. Aquest sentit del terme aritmética no ha de ser confós amb l'aritmética elemental, o amb la branca de la lògica que estudia l'aritmética de Peano com un sistema formal. Els matemàtics que estudien la teoria de nombres són anomenats teòrics de nombres.
Taula de continguts |
[editar] Camps
Segons els mètodes emprats i les preguntes que s'intenten contestar, la teoria de nombres se subdivide en diverses branques.
[editar] Teoria elemental de nombres
En la teoria elemental de nombres, s'estudien els nombres sencers sense emprar tècniques procedents d'altres camps de les matemàtiques. Pertanyen a la teoria elemental de nombres les qüestions de divisibilidad, l'algoritmo d'Euclides per a calcular el màxim comú divisor, la factorización dels sencers com producte de nombres primers, la recerca dels nombres perfectes i les congruencias. Són enunciats típics el petit teorema de Fermat i el teorema d'Euler que ho estén, el teorema xinès de la resta i la llei de reciprocidad cuadrática. En aquesta branca s'investiguen les propietats de les funcions multiplicativas com la funció de Möbius i la funció φ d'Euler; així com les successions de nombres sencers com els factoriales i els nombres de Fibonacci.
Diversos cuestionamientos dintre de la teoria elemental de nombres semblen simples, però requereixen consideracions molt profundes i noves aproximacions, incloent les següents:
- Conjetura de Goldbach sobre que tots els nombres paris (a partir de 4) són la suma de dos nombres primers.
- Conjetura dels nombres primers bessons sobre la infinitud dels anomenats nombres primers bessons
- Últim teorema de Fermat (demostrat en 1995)
- Hipòtesi de Riemann sobre la distribució dels zeros de la funció zeta de Riemann, íntimamente connectada amb el problema de la distribució dels nombres primers.
[editar] Teoria analítica de nombres
La teoria analítica de nombres empra com eines el càlcul i l'anàlisi complexa per a abordar preguntes sobre els nombres sencers. Alguns exemples d'aquesta són el teorema dels nombres primers i la hipòtesi de Riemann. El problema de Waring, la conjetura dels nombres primers bessons i la conjetura de Goldbach també estan sent atacats a través de mètodes analíticos.
[editar] Teoria algebraica de nombres
La teoria algebraica de nombres és una branca de la teoria dels nombres en la qual el concepte de nombre s'expandeix als nombres algebraicos, els quals són les arrels dels polinomios amb coeficientes racionals.
[editar] Teoria geomètrica de nombres
La teoria geomètrica de nombres (tradicionalment cridada geometría de nombres) incorpora totes les formes de geometría. Comença amb el teorema de Minkowski sobre els punts comuns en conjunts convexos i investigacions sobre superfícies esféricas.
[editar] Teoria combinatoria de nombres
La teoria combinatoria de nombres tracta els problemes de la teoria de nombres involucrant idees combinatorias i les seves formulaciones o solucions. Paul Erdős és el creador d'aquesta branca de la teoria de nombres. Els temes típics inclouen sistemes coberts, problemes de summa zero, diversos conjunts restringits i progressions aritméticas en un conjunt de sencers. Els mètodes algebráicos o analíticos són bastant poderosos en aquest camp.
[editar] Teoria computacional de nombres
La teoria computacional de nombres estudia els algoritmos rellevants de la teoria de nombres. Els algoritmos ràpids per a avaluar nombres primers i factorización de sencers tenen importants aplicacions en criptografía.
[editar] Història
Els matemàtics en l'Índia s'han interessat a trobar solucions senceres a les ecuaciones diofánticas des de l'època dels Vedas. El primer ús geomètric de les ecuaciones diofánticas es remunta als Shulba Sutras, els quals van ser escrits entre els segles VIII i VI a. C. Baudhayana (s. VII a. C.) va trobar dos conjunts de sencers positius a un conjunt d'ecuaciones diofánticas simultànies, i també s'usen ecuaciones diofánticas simultànies amb més de quatre incògnites. Apastamba (s. VI a. C.) usava ecuaciones diofánticas simultànies amb més de cinc incògnites.
Els matemàtics de l'època jainia van ser els primers a descartar la idea que tots els infinits són els mateixos o iguals. Reconeixen cinc tipus d'infinits diferents: infinit en una o dues adreces (unidimensionales), infinit en superfícies (bidimensional), infinit a tot arreu (tridimensional) i perpetuamente infinit (en un nombre infinit de dimensions).
La teoria de nombres va ser una de les disciplines d'estudi favorites entre els matemàtics grecs d'Alexandria , Egipte a partir del segle III a. C., qui tenien consciència del concepte d'ecuación diofántica en els seus casos particulars. El primer matemàtic helenístico que va estudiar aquestes ecuaciones va ser Diofanto.
Diofanto va investigar un mètode per a trobar les solucions senceres per a les ecuaciones lineals indeterminadas,[4] ecuaciones en les quals falta informació suficient per a produir un conjunt únic de respostes discretes. L'ecuación 
és un exemple d'elles. Diofanto va descobrir que moltes ecuaciones indeterminadas poden ser reduïdes a una forma en on certa categoria de solucions són conegudes, fins i tot a través d'una solució que no ho és.
Les ecuaciones diofantinas van ser estudiades de manera intensiva pels matemàtics indúes medievals, qui van ser els primers a buscar sistemàticament mètodes per a la determinació de solucions senceres. Aryabhata en el 499 dóna la primera descripció explícita de la solució sencera general de l'ecuación diofantina lineal 
, la qual apareix en el seu text Aryabhatiya. L'algoritmo kuttaka és considerat com una de les contribucions més significatives d'Aryabhata en les matemàtiques pures, el qual troba les solucions senceres d'un sistema d'ecuaciones diofantinas lineals, un problema d'important aplicació en l'astronomia . També troba la solució general de l'ecuación lineal indeterminada utilitzant aquest mètode.
Brahmagupta treballa en 628 les ecuaciones diofantinas més difícils. Utilitza el mètode chakravala per a resoldre les ecuaciones diofantinas cuadráticas, incloent aquelles de la forma de l'ecuación de Pell tal que2\," src="../../../../math/4/f/4/4f4a2695fa601a1e9ea8aee02a326672.png" /\>]. El seu Brahma Sphuta Siddhanta va ser traduït a l'àrab en 773 i al llatí en 1126. L'ecuación2\," src="../../../../math/4/f/4/4f4a2695fa601a1e9ea8aee02a326672.png" /\> ]va ser proposada com un problema pel matemàtic francès Pierre de Fermat. La solució general d'aquesta forma particular de l'ecuación de Pell va ser trobada 70 anys més tard per Leonhard Euler, encara que la solució general de l'ecuación de Pell va ser trobada 100 anys més tard per Joseph-Louis de Lagrange en 1767. No obstant això, diversos segles abans, l'ecuación de Pell va ser treballada per Bhaskara II en 1150 utilitzant una versió modificada del mètode chakravala de Brahmagupta, trobant la solució general d'altres ecuaciones cuadráticas intermèdies indeterminadas i ecuaciones diofánticas cuadráticas. El mètode chakravala per a trobar la solució general de l'ecuación de Pell era més simple que el mètode utilitzat per Lagrange 600 anys més tarda. Bhaskara troba també la solució d'altres ecuaciones cuadráticas indeterminadas, cúbiques, cuárticas i polinómicas de majors graus. Narayana Pandit va perfeccionar encara més les altres cuadráticas indeterminadas per a les ecuaciones de graus superiors.
[editar] Referències
- ↑ Jean-Paul Collette (1985), Història de les matemàtiques (volums 1 i 2). Traducció d'Alfonso Casal, Madrid: Segle XXI Editors S.A. ISBN 84-323-0526-4
- ↑ Introducció a l'obra Cohomology of number fields:
Die Zahlentheorie nimmt unter donin mathematishen Disziplinen eine ähnlich idealisierte Stellung ein wie die Mathematik selbst unter donin anderen Wissenschaften.
- ↑ Davenport, Harold (1999). The Higher Arithmetic: An Introduction to the Theory of Numbers (7ma edició). Cambridge, England: Cambridge University Press. ISBN 0-521-63446-6.
- ↑ Breu història de la teoria de nombres, URL últim accés el 05/06/2007.
